MATA KULIAH : MATEMATIKA DASAR
DOSEN :
Drs. SUNARTO
KELOMPOK : IV
ANGGOTA : 1. RAHMAT SEPTRIA
2. LILI MARFITA
3. WIWIEN AGUSTIN
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 LATAR BELAKANG
Belakangan ini, ilmu matematika telah berkembang
pesat. Bukan hanya sebatas hitung menghitung menggunakan skala statistik,
nilai, angka-angka real, kalkulus dan peluang. Akan tetapi, perkembangan ilmu
matematika juga terjadi didasarkan pada penalaran – penalaran yang logis atas
sistem matematis.
Penalaran yang dilakukan oleh para ahli matematik diperoleh atas
realita kehidupan yang nyata yang dirasakan oleh manusia. Perkembangan dan
aplikasi dan bagian matematik ini sangat dirasakan oleh manusia di berbagai
kehidupan. Penalaran inilah dalam bahasa matematika sering disebut logika.
Logika merupakan suatu aktivitas manusia yang berkaitan dengan
penggunaan akal dan pikiran sehingga menghasilkan suatu penalaran dengan
kebenaran – kebenaran yang dapat dibuktikan secara matematis. Meskipun tanpa
perhitungan melalui angka-angka atau dengan statistik, tetapi dapat diuji dan
masuk akal akan kebenarannya.
Berbagai macam peralatan elektronik yang ada di sekitar kita,
merupakan contoh nyata dari kemampuan manusia dalam menerapkan disiplin ilmu
logika matematika di berbagai bidang kehidupan. Diantaranya seperti listrik,
komputer, televisi dan radio dikembangkan atas dasar dan aturan logika
matematika sederhana yang dibentuk dalam sebuah rangkaian elektronik yaitu
menggunakan rangkaian benar yang biasanya dinyatakan dengan on dan off.
Berikut ini akan kelompok iv lokal I B
uraiakan salah satu sub pokok kajian logika matematika tentang tautologi,
kontradiksi, dan ekuivalen logis. Kajian lokasi ini semua terlepas dari
pernyataan – pernyataan yang konkret. Biasanya pernyataan – pernyataan tersebut
ditulis dengan huruf p dan q dengan suatu ketentuan umum mengenai tabel
kebenaran yang biasa ditulis dengan huruf B dan pernyataan yang salah dengan
huruf S
1.2 RUMUSAN
MASALAH
Adapun masalah yang akan di bahas dalam makalah ini adalah
1. Apa yang dimaksud tautologi ?
2. Apa yang dimaksud kontradiksi ?
3.
Apa yang dimaksud
ekuivalen logis ?
1.3 TUJUAN
Makalah ini disusun dengan maksud untuk
memberikan tambahan pengetahuan sekaligus sebagai tugas matakuliah matematika
dasar.
Adapun tujuan penulisan makalah ini adalah untuk mengetahui nilai
kebenaran dari suatu pernyataan, operasi-operasi yang terdapat dalam logika
matematika, mengetahui mengenai tautologi, kontradiksi, dan ekuivalen logis, pernyataan
berkuantor serta cara pengambilan kesimpulan dalam logika matematika.
BAB II
PEMBAHASAN
2.1
TAUTOLOGI
Tautologi adalah suatu proporsi
majemuk yang selalu bernilai benar untuk semua kemungkinan kombinasi nilai
kebenaran dari proporsi-proporsi pembentuknya.
Ø DEFINISI:
“
Suatu pernyataan majemuk yang selalu
bernilai Benar (B) ”
Contoh: 1. Perhatikan tabel kebenaran dari ( p ˄ q ) ⟹q
berikut ini :
p
|
q
|
( p ˄ q )
|
( p ˄ q) ⟹ q
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
Selalu
bernilai Benar (Termasuk TAUTOLOGI)
Contoh: 2. Tunjukkan bahwa pernyataan majemuk [(p ⟹ q) ˄ ~p] ⟹ ~p adalah sebuah tautologi.
Jawab :
Perhatikan tabel kebenaran berikut
ini :
p
|
q
|
~p
|
(p
⟹ q)
|
(p
⟹ q) ˄ ~p
|
[(p
⟹ q) ˄ ~p] ⟹ ~p
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
B
|
B
|
Jadi pernyataan majemuk [(p ⟹ q) ˄ ~p] ⟹ ~p adalah sebuah Tautologi.
2.2 KONTRADIKSI
Kontradiksi adalah suatu proporsi
majemuk yang selalu bernilai salah untuk semua kemungkinan kombinasi nilai
kebenaran dari proporsi-proporsi pembentuknya.
Ø DEFINISI:
“
Suatu pernyataan majemuk yang selalu
bernilai Salah (S) ”
Contoh: 1. Perhatikan tabel kebenaran dari [( p ⟹
q ) ˄ p] ˄ ~q berikut ini :
p
|
q
|
~q
|
( p ⟹ q )
|
[ ( p ⟹ q ) ˄ p ]
|
[ ( p ⟹ q ) )
˄ p] ˄ ~q
|
B
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
Selalu bernilai Salah (Termasuk KONTRADIKSI)
Contoh: 2. Tunjukkan bahwa pernyataan majemuk q
˄ (p ˄ ~q) merupakan suatu kontradiksi.
Jawab :
Tabel kebenaran dari q ˄ (p ˄ ~q)
adalah sebagai berikut :
p
|
q
|
~q
|
p
˄ ~q
|
q
˄ (p ˄ ~q)
|
B
B
S
S
|
B
S
B
S
|
S
B
S
B
|
S
B
S
S |
S
S
S
S
|
Pada
kolom yang paling kanan dari tabel di atas, tampak bahwa q ˄ ( p˄~q ) selalu
berniat salah untuk setiap nilai kebenaran dari komponennya. Oleh karena itu,
pernyataan q ˄ (p˄~q) adalah suatu “kontradiksi”.
2.3
EKUIVALEN LOGIS
Ø DEFINISI:
Dua
pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen (setara) jika kedua pernyataan majemuk tersebut
mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk
semua kemungkinan nilai kebenaran. Ekuivalen (setara) dilambangkan dengan “≡”.
Bentuk- bentuk logika yang ekuivalen
1.
Hukum Komutatif :
a)
p ˄ q ≡ q ˄ p
b)
p ˅ q ≡ q ˅ p
2.
Hukum Asosiatif :
a)
(p ˄ q) ˄ r ≡ p ˄ ( q ˄ r)
b)
(p ˅ q) ˅ r ≡ p ˅ (q ˅ r)
3.
Hukum Distributf :
a)
p ˄ (q ˅ r) ≡ (p ˄ q) ˅ (p ˄ r)
b)
p ˅ (q ˄ r) ≡ (p ˅ q) ˄ (p ˅ r)
4.
Hukum de Morgan :
a)
~(p ˄ q) ≡ ~p ˅ ~q
b)
~(p ˅ q) ≡ ~p ˄ ~q
c)
~(p ⟹ q) ≡ p ˄ ~q
d)
p ⟹ q ≡ ~p ˅ q
Contoh:
1. Tabel kebenaran berikut ini
menunjukkan bahwa~(p
˅ q) ≡ ~p ˄ ~q
p
|
q
|
~p
|
~q
|
p
˅ q
|
~(p
˅ q)
|
~p
˄ ~q
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
B
|
EKUIVALEN
Contoh: 2. Tabel kebenaran (p ˅ q) ˅ r ≡ p ˅ (q ˅ r)
p
|
q
|
r
|
(p ˅ q)
|
(p ˅ q) ˅ r
|
(q ˅ r)
|
p ˅ (q ˅ r)
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
S
|
S
|
S
|
S
|
BAB III
PENUTUP
3.1
KESIMPULAN
Secara etimologis, logika berasal dari kata
Yunani ‘logos’ yang berarti kata, ucapan, pikiran secara utuh, atau bisa juga
berarti ilmu pengetahuan (Kusumah, 1986). Logika adalah suatu cabang ilmu yang
mengkaji penurunan-penurunan kesimpulan yang sahih (tidak valid). Suatu
proposisi yang hanya memuat B pada kolom terakhir tabel kebenarannya, yaitu
benar untuk setiap nilai kebenaran dari peubahnya, disebut tautologi. Sebaliknya proposisi disebut kontradiksi, jika kolom terakhir pada tabel kebenarannya hanya memuat
S untuk setiap nilai kebenaran dari peubahnya dan dua pernyataan majemuk dikatakan
ekuivalen (setara) jika kedua pernyataan majemuk tersebut mempunyai nilai
kebenaran yang sama untuk semua kemungkinan nilai kebenaran.
3.2 SARAN
Dengan penyusunan makalah ini, kelompok iv
berharap pengetahuan mengenai logika matematika dapat diaplikasikan dalam
kehidupan atau dapat digunakan dalam banyak aspek kehidupan. Melalui logika,
kita dapat mengetahui apakah suatu pernyataan bernilai benar atau salah. Hal
terpenting yang akan didapatkan setelah mempelajari logika matematika adalah
kemampuan atau keahlian mengambil kesimpulan dengan benar atau sah.
DAFTAR PUSTAKA
Wibisono, Samuel. 2004. Matematika Diskrit. Yogyakarta: Graha
Ilmu.
Lipschutz, Seymour dan
George G. hall. 1988. Matematika Hingga.
Jakarta: Penerbit Erlangga.
Wirodikromo, Sartono.
2006. Matematika untuk SMA Kelas X.
Jakarta: Penerbit Erlangga.
Kurnianingsih, Sri dkk.
2001. Matematika untuk SMA Kelas X. Jakarta: Penerbit Erlangga.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar